Trabalho 1 de Métodos 1

Primeiro trabalho de Métodos 1.

Equipe:

  • Cassiano
  • Edilson
  • Esdras
  • Silveira Neto

Problema:

O valor de Π pode ser obtido através das equações sen(x)=0 e cos(x)+1=0. Pede-se:

  • Calcule o valor de Π pelas duas equações, implementando o método de Newton-Raphson.
  • Calcule o valor de Π pelas duas equações, implementando o método da Secante.
  • Compare os resultados.

Dados de Entrada: ξ (Precisão).
Dados de Saída: Π, Quadro comparativo.

Requisitos:

  • Implementação em Linux
  • Implementação em C++
  • Compilação estática

TODO: O TODO está dentro do tarball.

Análise das funções:

Seja f(x)=sen(x) (em vermelho no gráfico) e g(x)=cos(x)+1 (em azul).

Um bom método para achar um intervalo para o método é procurar um intervalo [a,b] onde a função seja negativa para a e positiva para b. Como cos(x) MATH - PERTENCE [-1,1] então g(x) MATH - PERTENCE [0,2]. Então não vamos usar g(x). Já f(x) possui a imagem em [-1,1].

O intervalo escolhido foi [3.1, 3.2] poisMiniatura f(3.1)=0.0415806624333 e (3.2)=-0.0583741434276. Ou seja, como f(3.1)<0 e f(3.2)>0 então existe algum valor entre 3.1 e 3.2 que zera a função f.

Outra maneira seria procurar, através da derivada de g(x), um intervalo em que ocorrece uma mudança na inclinação.

g(3.0)=0.0100075033996
g(3.1)=0.000864849726721
g(3.2)=0.00170522420525
g(3.3)=0.0125202300911

Entre 3.1 e 3.2, g parou de decrescer e começou a crescer. Então se há um zero, e sabemos que sim, ele está neste intervalo.

Referências:

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7 Comentários »

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  1. Isso do método para derivar uma função é necessário para que o programa seja capaz de iterar sobre qualquer função e não somente essa função sen(x)=0 e cos(x)+1=0.
    Acho que o Bento quer assim.

  2. Sugestão do Marco, usar essa aproximação, pela tangente:
    d/dx [f(x)] ~= (f(x2) – f(x1)) /(x2 – x1)

  3. E se a gente colocasse o programa pra procurar intervalos através de valores randômicos? Acho que o Bento gostaria…

  4. Eu falei com o Cassiano e agente concluiu que isolamento é isolamento e refinamento é refinamento.

  5. O que eu quis dizer é que a gente poderia botar o bicho pra testar intervalos randômicos, mais ou menos como a gente faz no papel. Qual a idéia de vocês?

  6. Eu não acho uma boa, foge ao escopo do trabalho, poderia até ser, como um extra.
    Eu queria saber se você já escreveu algo do trabalho, porque eu estou escrevendo. Não é inteligente nós estarmos fazendo trabalho repetido😉

  7. eu tenho medo! tem q testar as restrições de convergencia??


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